MM005 Analyse fonctionelle

Définition (topologie)
Definition: Soit X un ensemble: On appel topologie (ses éléments sont appelés ouverts) sur X   une classe de parties de X : (i) contenant $$\emptyset$$ et X (ii) stable par  intersection finie (iii) stable par union quelconque

Lorsque l' on munit X d'une topologie \mathrm{T}, le couple $$(X, T)$$ est appelé espace topologique. Les éléments de la topologie sont appelés ouverts de l'espace topologique. Le complémentaire d'un ouvert est appelé fermé (de l' espace topologique).

Exemples:


 * Soit X un ensemble (qcq) ,$$\{X,\emptyset\}$$ est la topologie grossière (la plus petite topologie sur X) (on vérifie aisémentles axiomes). X et ∅ sont des ouverts mais aussi des fermés.
 * Soit X un ensemble (qcq), $$\mathcal{P}(X)$$ est la topologie discrète (la plus grosse au sens où c'est l classe de parties de X qui contient le plus d'éléments (ouverts)). Evidemment puisqu'un fermé est le complémentaire d'un ouvert, tout élément de la topologie (toute partie de X) est à la fois ouvert et fermé dans cette espace topologique.


 * IMAG0005.jpg’ensemble formé de ∅, R et des réunions quelconques d’intervalles de la forme ]a, b[ est  une topologie sur R. (On verra plus tard qu'il s'agit de la topologie métrique de R, c'est à dir que l'on considère la topologie associée à la structure d'espace métrique de (R,d)).

''Maintenant nous allons voir un exemple particulièrement important d'espace topologique. Montrons que l' on peut munir 'les ensemble muni d'une distance' (les espaces métriques) d'une classe de partiesvérifiant les axiomes d'une topologie! Ainsi les espaces métriques ont également une structure d'espace topologique induit par la distance.''

Distance
Définition: Soit E un ensemble. Une distance est une application $$d:(x,y) \in E \times E \to d(x,y) \in \R_+$$ qui vérifie les trois axiomes suivants: pour tout $$x,y, z \in E$$: Exemples
 * $$d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$$ (séparation)
 * $$d(x,y)=d(y,x)$$ (symétrie)
 * $$d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z)$$ (inégalit triangulaire)

$$\left\{ \begin{array}{rl} d_N(x,y)=1 \Leftrightarrow & x \not = y (1) \\ d_N(x,y)=0 \Leftrightarrow & x = y (2) \end{array} \right.$$ d_N est bien à valeur dans \R_+. (2) nous assure la séparation.
 * Distance discrète (E (=\N,\Q,..,X),d_N): On munit $$\N$$ de l' application



ps:X ensemble quelconque Rmq: on peut donc munir n' importe quel ensemble de la distance discrète. On dit que tout ensemble est métrisable. (D'ailleurs on verra plus tard que cette distance induit la topologie discrète)
 * Distance (induite par une norme) usuelle sur (\N,\Q, \R )  Sur \R, on définit la distance usuelle entre deux réels x et y : par d(x, y) = |x- y|. Les propriétés 1, 2, 3 sont des conséquences directes de la définition de la valeur absolue: en effet

Rmq: (Il s'agit là encore d'un cas particulier: car les espaces normés sont des espaces métriques dès lors qu l' on utilise la distance induite par  une norme: d(x, y) = (N(x-y)= |x- y|). maxi=1..n xi yi est une distance. Nous verrons dans la suite d’autres exemples de distances sur Rn.
 * Sur Rn, l’application d∞ définie pour tout x = (x1 , ..., xn ) et y = (y1 , .., yn ) par d∞ (x, y) =

Construcyion topologie métrique-Boule
Définition: Soit un espace métrique (E,d). On Soit $$x \in E,r \in R_+$$, on appel boule ouverte (resp. fermée) de centre x de rayon r $$B(x,r) =\{y \in E:d(x,y) <r\}$$ (resp  $$\overline{B}=\{y \in E:d(x,y) \leq r \}$$).

Exemples : {| border="0" cellpadding="1" cellspacing="1" class="article-table" style="width: 500px;" ! scope="col"|
 * Soit (E(=\N...),d_N), (résultats idems pour E à la place de \N)

Boule ouverte
! scope="col"|Boule fermée

B(x,1)=\{y \in \N: d(x,y) <1\}=\{y \in \N: d(x,y) =0\}=\{y \in \N: y =x\}=\{x\}(resp. {x}) (idem avec r<1, et en prenant x )$$ B(x,r)=\{y \in \N: d(x,y) 1
 * $$B(x,1)=\{y \in \N: d(x(resp.x),y) <1\}=\{y \in \N: d(x,y) =0\}=\{y \in \N: y =x\}=\{x\}$$(resp. {x}) (idem avec r<1, et en prenant x )
 * Pour $$ r \leq 1
 * Pour $$ r >1
 * $$\overline{B}(x,1)=\{y \in \N: d(x(resp.x),y) \leq 1\}=\{y \in \N: d(x,y) =0 ou d(x,y)=1\} =\{y \in \N: y =x ou y \not =x\}=\N$$
 * r<1...
 * r>1 ...
 * }
 * }
 * }
 * }
 * }

Sur (R,d): B(x,r=]x-r,x+r[ (B_f(x,r)=[x-r,x+r]

Définition de  la topologie métrique:
On va définir les ouverts de E, puis on montrera que ces parties de E vérifient bien les axiomes d'une topologie (notement stabilité par union qcq et intersection finie).

Définition : Soit (E,d) un espace métrique. On dit qu'une partie U de E est ouverte ssi

(1) pour tout x \inE il existe une boule centrée en x (et derayon strictement positif) qui soit contenue dans U.

Proposition:la classe des ouverts de E définit comme précedement définit une topologie sur E..

Preuve



Proposition: Soit (E,d) un espace métrique. On dit qu'une partie U de E est ouverte ssi

(1) pour tout x \in E il existe une boule centrée en x (et de rayon strictement positif) qui soit contenue dans U. (2) U est réunion de boules ouvertes

Preuve de l' équivalence



Rmq: Soit (E,d) un espace métrique. Ainsi une boule ouverte est évidemment un e partie ouverte de E.

Ainsi si l'on sait identifier les boules ouvertes de (E,d) on sait maintenant décrire: - n'importe quel ouvert: c'est une réunion de boules ouvertes - on sait donc définir la topologie: l' ensemble des réunions (qq) de boules ouvertes (voir exemple de (R,d) plus loin). Exemples




 * Soit (\R,d_u)



Un exemple d'ouvert: la boule ouverte:
preuve: ...

Espaces vectoriels normés: des espaces métriques
Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel, munis d'une norme N: on parle d' espace vectoriel normé. On peut naturellement construire une distance à parti de cette norme. Pour tout : x,y \in E, d(x,y)=N(x-y).

Ex: (R,+,.) munis de la norme |.| (valeur absolue. d(x,y)=|x-y|.

Maintenant on a donc construit (E,d_N) un espace mtrique et on peut donc lui adjoindre une structure d'espace topologique (d'après ce qui précède).

Ex: (R,d_{|.|}) Ici les boules ouvertes sont les intervalles ouverts: par exemple B(1,r)=]1-r,1+r[. Toute boule ouverte (intervalle ouvert) est un ouvert (voir démo). Par stabilité par union qq: les unions d'intervalles ouverts sont aussi des ouverts. D'après l' equivalenc (voir démo) : une partie est ouverte ssi elles est réunion de boules ouvertes: celà permet de résumer au fait que la description exhaustive de tous les ouverts (et donc de la topologie) de R est la réunion d'intervalles ouverts.
 * Identification des boules B(x,r)
 * Parties ouvertes,topologie

Point intérieur-Point adhérent (définition)
Definition: Soit (X,T) un espace topologique. Soit A \subset X et x \in X - x est interieur à A ssi il existe un ouvert inclus dans A contenant x. - x est adhérent à A ssi tout ouvert contenant x possède une intersection non vide avec A. On dit que A est dense dans X ssi tous les points de X sont des points adhérent à A (l' adhérence de A est X).

Suite convergente (définition)
Definition: Soit (x_n) une suite d' éléments de X (munis de sa topologie T). On dit que (x_n) est convergente ssi : $$\exists l \in X: \forall O \in T$$ contenant $$l$$  $$\exists N \in \N, \forall n \geq N x_n \in O$$ On dit alors :

- (x_n) est convergente

- (x_n)converge

-(x_n) converge vers l

- l est la limite de (x_n) .etc... Exercice: Dans un espace topologique une suite peut elle avoir plusieurs limites différentes ?

Oui dans un esoaces non séparé, par exemple la topologie grossière semble avoir  trop" peu d' ouverts pour etre separé. Par exemle si l' on considère la topologie grossiere sur R et la suite constante (1), on peut dire que 2 (au même titre que 0) est limite de cette suite puisque tout ouvert contenant 2 (il s' agit forcément de R puisque l' nsmble vide ne contient aucun élément) contient tout les éléments de la suite et celà dès le rang 1. Je ne sais pas si cette explication est valable mais il semble ici qu'il "ny ait pas assez d'ouverts dans cette topologie"pour en faire un espace séparé qui va de paire avec l' unicité de la limite.Définition : Soit (E,d) un espace métrique. On dit qu'une partie U de E est ouverte ssi

(1) pour tout x \inE il existe une boule centrée en x (et derayon strictement positif) qui soit contenue dans U.

(2) U est réunion de boules ouvertes

Espace séparé:
La question suivante repose la mêmem question avec un epace séparé. Je vais donc supposé que mon espace est séparé et qu'il existe une suite (x_n) qui admette deux imites distinctes l_1 et l_2. Notons O_1 et O_2 les duex ouverts disjoints contenant respectivement l_1 et l_2 (car espace séparé). Du coup à partir d'un certain rang n_1 les éléments de la suite sont dans O_1 (car l_1 est limite de la suite) et à partir d'un rang n_2 les éléments de la suite sont dans O_2. Du coup au rang n=max(n_1,n_2) les termes de la suites sont dans deux ouverts disjoints : contradiction!

oN EN DÉDUIT DONC QUEs'il on connait la topologie (ie) les ouverts : on a une définition de la convergence des suites:....Donc lorsque l'on donne/connait la topologie sur un ensemble, on peut en déduire les suites covergentes dans cet espace topologique (ce sont les suites dont on peut expliciter un élément l, tel que pour tout ouvert contenant l, il existe un rang à partir duquel tous les éléments de la suites sont dans cet ouvert)! $$\exist l \in E, tq,\forall O \in T: \exist n_O tq \forall n\geq n_O, x_n \in O$$

Espaces Metriques
Soit (X,d) un esoace métrique, on peut le munir d'une topologie (nommée topologie métrique): grâce à la définition des boules ouvertes.

En effet on définit les ouverts de cette manière $U\in {\cal T}\Longleftrightarrow (\forall x\in U)(\exists r_x \in \R_+^*)\ B(x,r_x)\subset U$

Bon Soit (E,d) un espace métrique (i)$ $$E=\cup_{x \in E} B_o(x,1)$ car $ \forall x \in E, x \in B_o(x,1)$ puisque $ d(x,x)=0<1$$$ (ii) $ $$\cup_{i \in I} \cup_{j \in J_i} B_o =\cup_{k \in \cup J_i} B_o$$$ pour celà je ne penses pas aoir besoin de plus justifier ...? (iii) Pour l' intersection de deux boules ouertes je pense pouvoir montrer la stabilité: soient Soient $$$ B_o(y_1,r_1)$ $ B_o(y_2,r_2)$$$ deux boules ouertes , - soit leur intersection est ide aucquelcas on a une union indéxée par l' ensemble vide de boules ouvertes, -soit $$$ \exists x \in B_o(y_1,r_1) \cap B_o(y_2,r_2)$$$ auquel cas si l' on note $$$ r_x=min((r_1-d(x,y_1)),(r_2,d(x,y_2))$$$ alors $$$ B_o(x,r_x) \subset B_o(y_1,r_1) \cap B_o(y_2,r_2)$$$. Du coup $$$ \cup_{ x \in B_o(y_1,r_1) \cap B_o(y_2,r_2)}B_o(x,r_x)=B_o(y_1,r_1) \cap B_o(y_2,r_2)$$$.

On se sert de" l' inegalité triangulaire: en effet un dessin nous aiguillaiut pour trouver unn rx cohérent qui permet de montrer l' inclusion de B(x,rx) dans les deux boules B(y1,r1) et B(y2,r2)

Exercice: Est il vrai que la boule fermée B[x,r] est égale à l' adhérence de la boule ouverte B(x,r)? Soit y \in B[x,r], montrons que ce points \in Adh(B(x,r))!

Donc d(x,y) \leq r.Soit une boule B(y,r_2). Montrons que cette boule a une intersection non nulle avec B(x,r). Un dessin est helpful:Montrons formellement quy'un point entre x et y à une distance moindre que r_2 appartient à la boule B(x,r) (ce qui montre que l' intersection est non nulle).