Norme distance inégalité

j'ai du mal à comprendre comment une norme peut être nulle sans que ce qui le compose est nul....

C'est en fait impossible, cette propriété fait partie de la définition d'une norme.

Ce dont parle MisterDa est l'espace sur lequel on définit la semi -norme. En effet, ici l'intégrale peut être nulle sans que la fonction le soit.

Il y a alors deux manières de résoudre le problème : (i) on restreint l'espace pour ne garder que les fonctions continues, auquel cas définit bien une norme, (ii) on quotiente l'espace par la relation d'égalité presque partout (puisque la norme est nulle ssi la fonction est nulle presque partout), ce qui est en général assez brutal, mais ici cela se prête bien à la situation.