Fonction de répartition

Définition: Fonction de répartition d'une mesure finie
Définition : Soit $$\mu$$ une mesure : On appel fonction de répartition de $$\mu$$ la fonction:
 * finie
 * définie sur $$( \mathbb{R} ,\mathcal{B}( \mathbb{R} ))$$, donc $$ \mu : \mathcal{B}( \mathbb{R})  \to   \mathbb{R}_+  $$

$$ \begin{array}{ccccc}F_{\mu} & : & \R & \to & \R_+ \\& & x & \mapsto & \mu(]- \infty ,x])(x) \\\end{array} $$

Remarque: Imaginons que l' on souhaite représenter une mesure graphiquement, il faudrait donc qu' a chaque Borélien on associe un nombre positif (sa mesure), il y a autant de Boréliens que de réels, mais comment peut on attribuer à chaque borélien un réel (par exemple l' intervalle [0,2] serait représenté par le chiffre 2 ou 0, pas de choix naturel) alors que l' on est déjà incapable de décrire tous les boréliens. La fonction de répartition d' une mesure (sur $$ \mathbb{R} $$) et la densité sont les deux seuls deux moyens de représenter une mesure graphiquement.

Exemples
Ex1: Soit une probabilité $$ P $$ :


 * donc une mesure finie (de "masse totale" 1)


 * que l' on définit sur $$(\R,\mathcal{B}(\R))$$ (c'est donc une probabilité définit sur $$ \mathbb{R} $$)

alors on appelle fonction de répartition la foncion $$ \begin{array}{ccccc}F_P & : & \R & \to & [0,1] \\& & x & \mapsto & P(]- \infty ,x])(x) \\\end{array} $$

qui est une mesure de probabilité

Ex2:: Soit $$(\Omega, \mathcal{F},P)$$ un espace de probabilité (souvent $$(\R,\mathcal{B}( \mathbb{R} ),\lambda)$$ (mesure de Lebesgue), on définit une fonction mesurable (v.a.):

$$ \begin{array}{ccccc}X & : & (\R,\mathcal{B}(\R)) & \to & (\R,\mathcal{B}(\R)) \\& & \omega & \mapsto & X(\omega) \\\end{array} $$, auquel on associe la mesure image:

( $$ \begin{array}{ccccc}P_X & : & \mathcal{F} & \to & \R_+ \\& & A & \mapsto & P(X^{-1} (A) \\\end{array}$$) dans notre cas, il s' agit de $$ \begin{array}{ccccc}\lambda_X & : & \mathcal{B}( \mathbb{R} ) & \to & \mathbb{R}_+ \\& & A & \mapsto & \lambda (X^{-1} (A)) \\\end{array} $$

Mais il est équivalent de se donner : $$F_{\lambda_X}$$ qui vérifie $$ \forall t \in F= \mathbb{R} :F_{\lambda_X}(t) =\lambda_X(]- \infty ,t$$

Remarque: Se donner une fonction de répartition c'est comme se donner une mesure (ca peut être une mesure qulconque, une mesure image définit par une fonction mesurable,...).

Sur un espace mesurée donnée $$(\Omega, \mathcal{F},P)$$ on peut définir plein d' autres mesures/fonction de répartition (puisque les deux sont "équivalents") par exemple à l' aide :
 * des mesure image (donnée par des fonction mesurable)
 * ou  simplement en respectant les ptés de$$ \mathbb{R} \to \mathbb{R} _+$$ ($$ \mathbb{R} \to [0,1] $$ pour les probas) (croissant, continue à droite t de limite 0 et 1 aux bornes de R.

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