Distance

Distance
Définition: Soit E un ensemble. Une distance est une application $$d:(x,y) \in E \times E \to d(x,y) \in \R_+$$ qui vérifie les trois axiomes suivants: pour tout $$x,y, z \in E$$: Exemples
 * $$d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y$$ (séparation)
 * $$d(x,y)=d(y,x)$$ (symétrie)
 * $$d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z)$$ (inégalit triangulaire)

$$\left\{ \begin{array}{rl} d_N(x,y)=1 \Leftrightarrow & x \not = y (1) \\ d_N(x,y)=0 \Leftrightarrow & x = y (2) \end{array} \right.$$ d_N est bien à valeur dans \R_+. (2) nous assure la séparation.
 * Distance discrète (E (=\N,\Q,..,X),d_N): On munit $$\N$$ de l' application



ps:X ensemble quelconque Rmq: on peut donc munir n' importe quel ensemble de la distance discrète. On dit que tout ensemble est métrisable. (D'ailleurs on verra plus tard que cette distance induit la topologie discrète)
 * Distance (induite par une norme) usuelle sur (\N,\Q, \R ) Sur \R, on définit la distance usuelle entre deux réels x et y : par d(x, y) = |x- y|. Les propriétés 1, 2, 3 sont des conséquences directes de la définition de la valeur absolue: en effet

Rmq: (Il s'agit là encore d'un cas particulier: car les espaces normés sont des espaces métriques dès lors qu l' on utilise la distance induite par  une norme: d(x, y) = (N(x-y)= |x- y|). maxi=1..n xi yi est une distance. Nous verrons dans la suite d’autres exemples de distances sur Rn.
 * Sur Rn, l’application d∞ définie pour tout x = (x1 , ..., xn ) et y = (y1 , .., yn ) par d∞ (x, y) =

Définition:Soit E un ensemble, Deux métriques d_1 et  d_2 (sur E) sont dites équivalentes si il existe  $$\alpha$$  et  $$\beta$$ tels que  $$\alpha d_1 < d_2 < \beta d_1$$ 1.2, avec  $$\alpha ,\beta > 0$$.

Equivalence Proposition: Deux distances sur E sont dites équivalntes si pour tout x \in E et