Espace produit (tribu produit, mesure produit...)

Mesure produit
Thm 2.14: on définit la mesure produit (notons là $$m$$) sur la tribu produit: qui:


 * à tout rectangle à côté mesurable associe le produit de la mesure de ses côtés (on étend le concept d'aire d'un rectangle) (1')
 * plus généralement la mesure de toute partie mesurable (de la tribu produit) est donnée par la formule suivante $$C \to \int_{E_1} \mu_2(C_{x_1})d\mu_1(x_1) (1)$$

Demo:


 * On montre d'une part que m définit bien une mesure (au sens des axiomes) sur la tribu produit et que (1') est bien cohérente avec (1) (on retrouve bien la mesure d'un rectangle donné par la formule (1)
 * Pour l'unicité d'une telle mesure, ca découle simplement du fait que si deux mesures coincident sur les rectangles à cotés mesurables alors elles coninciodent sur le Pi-système qui engendre la tribu produit or parv théorème on a donc conincidence des deux mesures sur la tribu produit.

On a donc définit (l' existence et l'unicité) d'une mesure: nommée mesure produit (et qui semlble assez naturelle) sur la tribu produit.