Convergence monotone

Ce théorème indique que la convergence simple vers d'une suite croissante de fonctions mesurables positives implique la convergence de la suite de leurs intégrales vers l'intégrale de .$$\int $$

Le théorème autorise donc de permuter le symbole d'intégration et celui de passage à la limite, lorsqu'il s'agit de fonctions

Convergence simple
Une fonction non élémentaire en mathématiques est souvent construite comme limite d'une suite et plus généralement d'une série. Ces fonctions sont par exemple obtenues par une construction de type série entière ou par les méthodes de l'analyse harmonique.

Parfois, cette série converge bien. Par bien converger, on entend la convergence au sens d'une topologie forte ou d'une bonne distance. Par exemple, la distance de la convergence uniforme qui indique qu'une section finissante de la suite se trouve dans une bande de largeur aussi petite que l'on veut.

Malheureusement une convergence forte est rare. Par exemple la suite des polynômes $$(x^n)$$ sur l'intervalle [0, 1] ne converge pas uniformément. Un critère de convergence peu contraignant est la convergence simple, qui indique uniquement qu'en chaque point les fonctions convergent. La régularité de la convergence n'est pas assurée. Si le critère de convergence est peu contraignant, il offre hélas des propriétés peu enrichissantes. C'est la raison pour laquelle on appelle la topologie associée la topologie faible. C'est le cas de notre exemple qui converge vers la fonction égale à 0 sur l'intervalle [0,1[ et vers 1 en 1.\