Tribus

Les tribus sont des classes de parties pouvant être "mesuré".

Nécessité du théorème de classe monotone
Les tribus (comme par exemple la tibu borélienne) sont généralement très "riches" (gros*, d'ailleurs la tibu borélienne sur $$\R$$ a la puissance du continu) en ensemble au sens où il est impossible d' en décrire tous les élémentts. Par exemple si X est un espace topologique,$$B(X)=\sigma(O(X))$$ la tibu borélienne sur $$X, B(X)$$ contient En particulier vérifier que deux mesures sont égales sur une tribu $$\mathcal{A}$$ semble être une tâche titanesque, heueusement le théorème de classe monotone permet de montrer que deux mesures sont égales sur une tribu en ne le montrant que sur une petite portion de cette tribu, cette classe de partie partiiculière est le $$ \pi-$$système engendrant la tribu $$\mathcal{A}$$. Ca permet donc de démontrer, de manière économique, l'égalité de deux mesure, (par exemple l' égalité de deux lois de probabilités)
 * les ouverts (par exemple les réunion dénombrables d'intervalles ouvert : $$]0,1[ \cup ]2,3[ \cup...$$)
 * les fermés (par exemple une intersection dénombrable de' intervalles fermés: les singletons $$\{a\}$$, ensembles de Cantor $$K$$ (qui est infinis non dénombrables mais négligeable))
 * les intersections dénombrables d'ouverts (dits ensembles de type $$G_{\delta}$$, par exemple les irationnels: $$\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} $$)
 * les réunions dénombrables de fermés (dits ensembles de type $$F_{\sigma}$$, par exemple :$$\mathbb{Q}$$ )
 * les réunion et intersections de tels ensembles

Par exemple si on montre que deux mesures sont égales sur les pavés ouverts de \R^d, on peut en déduire que ces deux msures sont égales sur la tribu engendré par les pavés ouverts

Lemme de la classe monotone:
Lemme de la classe monotone: Soit $$ E $$ un ensemble.Pour tout $$ \pi-$$système $$ \mathcal{C} \subseteq \mathcal{P}(E)$$ : $$ \Lambda(\mathcal{C})=\sigma(\mathcal{C})$$ .Le plus petit $$\lambda-$$système contenant le $$ \pi-$$système $$ \mathcal{C}$$ est la tribu engendrée par $$\mathcal{C} $$.

Preuve: Tout d' abord, le thm affirme implicitement qu'il existe un $$\lambda-$$système contenant \mathcal{C}. Effectivement $$\mathcal{P}(E) $$ en est un, il en existe au moins un (ensuite l'unicité d' un tel élément est évidente puisque l' on prend le plus petit au sens d l' inclusion donc si l' on suppose que l' on a deux plus petit par double inclusion on montre que ce sont le s mêmes).

Il faut montrer que $$\Lambda(\mathcal{C})$$ est une tribu. Pour ça nous pouvons montrer que c'est: à la fois un $$\lambda-$$système (par hypothèses dans les données de l' énoncé) et un $$\pi-$$système (c'est ce qu' il faut montrer). On a bien sûr:
 * $$ E \subseteq \mathcal{C} \subseteq \Lambda(\mathcal{C}) $$
 * Montrons que $$ \Lambda(\mathcal{C}) $$ est stable parintersection finie (en utilisant le fait que $$ \mathcal{C}$$ l' est):

Soit $$A \subseteq E $$ on définit le sous-ensemble de $$  \Lambda(\mathcal{C})$$ suivant:$$\Lambda_A= \{ L  \in \Lambda(\mathcal{C}), L \cap A  \in \Lambda(\mathcal{C})  \} $$ qui caractérise les élément de notre Lambda système stable par intersection avec A. On peut déjà remarquer que pour tout élément (arbitraire) $$C \in \Lambda(\mathcal{C}): \Lambda_C $$ contient le $$\pi- $$système $$ \mathcal{C}$$. En effet soit $$ C_i \in  \mathcal{C}$$ alors :''' On montre également qu'une telle sous partie a une struture de $$\lambda- $$système.
 * $$C_i \in  \Lambda( \mathcal{C}) \quad (C_i  \subseteq \mathcal{C} \subseteq  \Lambda( \mathcal{C})$$
 * $$ C_i\cap C \in \Lambda( \mathcal{C}) \quad (C_i \cap C  \in  \mathcal{C} \text{puisque les éléments du pi-système C sont stables par intersection finie et }\mathcal{C}  \subseteq \Lambda( \mathcal{C})$$).

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D'ou D'ou $$\Sigma(\mathcal{C})$$ qui est le plus petit lamda système contenant \mathcal{C} est inclus dans $$\Lambda_C$$d'ou l' égalité. Et par défiition de $$\Lambda_C$$ comme on vietn montrer qu'il contient \mathcal{C}, on a donc la stabilité par intersection finies avec les éléments de \mathcal{C}.Donc $$\Sigma(\mathcal{C})=\Sigma_C$$ est stable par intersection finies avec les éléments de \mathcal{C}. Mais nous, on veut la stabilité par intersection finie avec tous les éléments de $$\Sigma(\mathcal{C})$$! Puisque tous les éléments de \Sigmanotre lsys sont stable avec les élmts dC,   on en déduit que  pour tout S  \in  SigmaCque

$Même s'il est relativement difficile de construire des parties de $$\R $$ non boréliennes, on peut le faire (moyennant l' axiôme du choix).