Inégalité de Hölder

Généralisant l' inégalité de Cauchy Schwartz, on a l' inégalité de Hölder.

Voyons d' abord Cauchy Schwartz (p=q=2):

Elle s' étavblit dans le cadre d' un espace vectoriel normé : $$ (E,\| \|_E) $$. Dès lors que l' on possède une norme (ou un produit scaliare l'un se déduisant de l' autre, on établit l' inégalité de Cauchy scwartz).

Cette inégalité permet
 * d'établir l'inégalité triangulaire (montrant que la racine carrée de la forme quadratique associée au produit scalaire est une norme)
 * de montrer que l' application ...produit scalaire est continu.

$$|\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|.\,$$

On peut le montrer pour:

des fonctions continues sur un segment

des fonctions

Théorème 2 : Soient $$f,g\in\mathcal{C}([0,1],\mathbb {R})$$. Alors : $$ \displaystyle \int_0^1\vert fg\vert\leq\left(\int_0^1\vert f\vert^2\right)^{1/2} \left(\int_0^1\vert g\vert^2\right)^{1/2}.$$

Preuve:

Comme on considère des fonctions continues sur un sgment, l'image d'un compacte par une fonction continue est un compact, donc dans $$  \mathbb{R} $$ un fermé borné. Or une fonction borné sur un ensemble de mesure finis (ici un segment [0,1]) admet des "moments" de tous les ordres. Il n' y a donc aucune hypothèses supplémentaires à ajouter dans ce contexte pour que tous les membres de l'inégalité soient bien définis. Ici on a donc considérer $$E=\mathcal{C}([0,1],\mathbb {R})$$ et on pose la notation $$\| f\|= \int_{E_1} f d\mu$$ avec$$E_1=[0,1]$$. Considérons la quantité $ \left\Vert\frac{f}{\Vert f\Vert}-\frac{g}{\Vert g\Vert}\right\Vert^2$ est positif. (lorsque l'on saura que c'est une norme, cette quantité représente "la distance" au carré de f à g) Or si l' on dévellope on déduit $ 2 \int fg/(\Vert f\Vert\Vert g\Vert) \leq \int f^{2}/(\Vert f\Vert^2)+\int g^2/(\Vert g\Vert^2)$ or on a posé $ \Vert f\Vert^2 =\int f^2$ donc $ \int g^2/(\Vert g\Vert^2)=1$ (après intégration et idem pour f) en simplifiant on obtient $ \int fg\leq\Vert f\Vert\Vert f\Vert$

Enoncé générale (à modifié)

Soit $$ (E,\| \|_E) $$ un espace vectoriel normé. $$ \forall x,y \in E$$ on a : $$ \| xy\|_E=\| x\|_E^{1/2} \| y\|_E^{1/2} $$

On considère le polynôme du second degré

$$\displaystyle P(\lambda) = \int_a^b \left(\vert f(t)\vert+\lambda \vert g(t)\vert\right)^2dt$$ qui est toujours positif.

En développant, on tombe sur une forme quadratique

$$\displaystyle P(\lambda) = \lambda^2\int_a^b \vert g(t)\vert^2dt +2\lambda\int_a^b \vert f(t)g(t)\vert dt + \int_a^b \vert f(t)\vert^2dt$$

Après, en me disant que le discriminant de ce polynôme doit être négatif j'obtiens bien l'inégalité souhaitée

$$\displaystyle \int_a^b \vert f(t)g(t)\vert dt < \sqrt{\int_a^b \vert g(t)\vert^2dt} \sqrt{\int_a^b \vert f(t)\vert^2dt}$$

Soient $$f, g \in \mathcal{L}^2$$ (donc que le carré de leur valeure absolue est intégrable), on veut montrer que $$ fg  \in  \mathcal{L}^1$$ (donc que $$ \vert fg\vert$$ est intégrable).

Soient des réels (ou des complexes). Alors : $$\displaystyle \sum_{k=1}^n\vert u_nv_n\vert\leq \left(\sum_{k=1}^n\vert u_n\vert^2\right)^{1/2}\left(\sum_{k=1}^n\vert v_n\vert^2\right)^{1/2}.$$

Une structure d' espace vectoriel (groupe munis d'une loi externe ayant des axiomes supplémentaires) munis d'une norme (application vérifiant des axiomes et qui induit une distance).