LM361:Problème 7

On cherche à résoudre l' équation différentiellle suivante: $$u''+sin u =g$$ avec

1) Prouver que l' ensemble image K(H) est minoré par un réel \mu  donc  admet une borne inf dans \R
 * ou u est une fonction $$C^2$$ (sinon on ne pourrais la dériver deux fois) sur $$[0,1]$$ qui vérifie les conditions aux limites (dit de Dirichlet) $$u(0)=u(1)=0$$.
 * g une fonction continue sur I:$$g:[0,1] \to R, \in C^0([0,1])$$

2)Prouver que cette borne inf est atteinte en un point u \in H ? (à l' aide du théorème d' ascoli)qu'en fait K(H) admet un minimum:: atteint en u En effet u_n converge uniformément vers udonc u est continue en tant que limite uniforme continues; u' est

3)Après avoir introduit (l'integrale à paramètre, en t) qui :$$\phi_n:t\in [-1,1] \to K(u_n+ty) \in R$$ on considère la dérivée directionelle (de K) au voisinage de u_n, selon les directions y (bien particulières puisque y est c^2 et vérifie en plus les conditions de Neuman) appartenant à H mais ne représnetent pas toutes les fonctions de H)montre que \phi_n'(0) est nulle ce qui signifie que \phi_n(0) est un minimum

4)

Variables du problème:

$$a/2+b/6=-\int_0^1(1-t)(-u(t)+g(t)-sin(u(t))) ;\quad a+b/2 = -\int_0^1(-u(t)+g(t)-sin(u(t)))$$
 * $$(H,(|)_H)$$ un espace (fonctionelle) vectoriel préhilbertien (car munis d' un produit scalaire) (qui ressemble à l' espace fonctionelle dans lequel on recherche nos solutions) $$ H=\{u:[0,1] \to \R, u\in C^1([0,1]),u(0)=u(1)=0 \}$$ avec $$(u|v)=\int_0^1 u'(t)v'(t)dt$$
 * $$K:u\in H \to \int_I (u'(t)^2/2+cos(u(t))+g(t)u(t))dt \in R$$ une forme linéaire
 * $$(u_n) \in H$$ une suite qui converge uniformément $$u_n \to u$$ vers le minimum de l'ensemble K(H)
 * $$y \in C^2([0,1)]$$ qui vérifie les conditions aux limites de dirichlet et neuman (nullité aux bornes) (donc y \
 * $$\phi_n:t\in [-1,1] \to K(u_n+ty) \in R$$ (H est un espace vectoriel u_n et y \in H donc on peut leur appliquer la forme linéaire K)
 * On définit la fonction $$H \in C^2(([0,1])$$ à partir de sa dérivée seconde, $$H'':t\in [0,1] \to g(t)-sin(u(t)) \in R$$
 * p et y déterminés en 5)b):
 * $$p(t)=a+bx$$
 * $$y(t)=ax^2/2+bx^3/6+\int_0^x(x-t)(-u(t)+g(t)-sin(u(t)))dt$$
 * avec a et b vérifient le système:

$$y''=-u(t)+(g(t)-sin((u(t)))+a+bt$$ y est c~ et vérifie neuman et dirichlet