Théorème de Stones

En mathématiques, le théorème de Stone-Weierstrass est une généralisation du théorème d'approximation de Weierstrass en analyse réelle, selon lequel toute fonction continue définie sur un segment peut être approchée uniformément par des fonctions polynômes. La généralisation par Stone étend ce résultat aux fonctions continues définies sur un espace compact et à valeurs réelles, en remplaçant l'algèbre des polynômes par une algèbre de fonctions qui sépare les points et contient au moins une fonction constante non nulle.

Définition
Soit $$(X,d) $$ un espace métrique compact, $$ \mathcal{A}$$ une sous-algèbre (1) de $$E=\mathcal{C}_{\R}(X) $$ (l' ensemble des fonctions continues $$ f:X \mapsto \R$$) vérifiant les axiomes suivants:
 * $$\tilde{1} \in \mathcal{A}$$ (contient la fonction constante (donc toutes) $$ \begin{array}{ccccc}\tilde{1} & : & X & \to & \R \\& & x & \mapsto & 1 \\\end{array} $$)
 * $$ \mathcal{A}$$ "sépare " les points: Si $$ x_1 ,x_2 \in X, x_1\not = x_2  $$ alors $$ \exists f \in \mathcal{A}, f(x_1)\not = f(x_2)$$ sont deux points

Je voudrais démontrer ce théorème (mes notes de cours ne m'aident pas à comprendre ...) Je considère une sous algèbre $\mathcal{A}$ des fonctions continues de X(un compact) dans $\R$ vérifiant les axiomes suivants: (i)stable par prise de min et de max (ii)$\mathcal{A}$ "sépare" les points.

Je voudrais montrer qu'une telle algèbre est dense dans l' ensemble $\mathcal{C}_X^0(\R)$ (l' espace des fonctions continues de$X \mapsto \R$), c'est à dire comme me l' a fait comprendre H: $ \forall f \in \mathcal{C}_X^0(\R), \forall \varepsilon >0,\exists \phi \in \mathcal{A}, \left\{\begin{array}{rl} \| f-\phi\|__{ \infty } <& \leq \varepsilon \\ \forall x \in X |f(x)-\phi(x)| &\leq \varepsilon \end{array} .$

Preuve: Soit $f \in \mathcal{C}_X^0(\R), \varepsilon >0$, construisons une fonction $\phi_{ \varepsilon } \in \mathcal{A}$ qui qui soit à une distance $ \varepsilon $ de $f$ (ie : $\forall x \in X |f(x)-\phi_{ \varepsilon } (x)| \leq \varepsilon $). * 1) En fait pour construire cette fonction, nous devons partir d'un point, on fixe donc également $x \in X$ et l' on va montrer que l' on peut construire (donc qu'il existe) $\phi_{x, \varepsilon } \in \mathcal{A}$ tel que $\left\{\begin{array}{rl} \phi_{x, \varepsilon }(x)&=f(x) (?pourquoi?) \\ \forall y \in X,\phi_{x, \varepsilon }(y)&\leqf(y)+ \varepsilon \end{array}$. D'après l' hypothèse de séparation $ \forall y \not=x, \exists \psi_y \in \mathcal{A}$ telle que: $\left\{\begin{array}{rl} \psi_y(x)&=f(x) \\ \psi_y(y)&=f(y) \end{array}. $ 1ère Idée: Puisque $\psi_y$ est continue, $ \exists O_y=\psi_y^{-1}(]- \infty ,f(x)+ \varepsilon [ $ un ouvert de $X$. En parcourant $X$ on obtient ainsi un recouvrement ouvert de $X=\cup_{y \in X}O_y $. On a donc un recouvrement ouvert(pas forcément dénombrable de $X$) et la propriété de compacité (caractérisation de Borel Lebesgue) nous permet d'obtenir un recouvrement finis de $X=\cup_{i=1}^n O_{y_i} $.Ainsi on peut définir $\phi_{x, \varepsilon }=min_{i \in [1,2,...,p]} (\psi_{yi})$qui vérifie bien $ \forall y \in X,\psi_{yi}\leq \leq \phi_{x, \varepsilon }\leq f(x)+ \varepsilon $.

2) Ensuite on va réappliquer le même procéder à ces nouvelles fonctions: $ \forall x \in X, \exists \phi_{x, \varepsilon }:\left\{\begin{array}{rl} \phi_{x, \varepsilon }(x)&=f(x) \\ \forall y \in X,\phi_{x, \varepsilon }(y) &\leq f(y) \end{array}$ Puisque mes nouvelles fonctions sont continues (stabilité de la continuité par min), $ \forall x \in X, \exists O_{x}=\phi_{x, \varepsilon }^{-1}(]f(x)- \varepsilon ,+ \infty [)$. En faisant varier $x$, et on peut parcourir $X$ et en obtenir un recouvrement ouvert $X=\cup_{x \in X}^kO_{x}$ par la propriété de Borel Lebesgue on peut se ramener à un nombre finis de tels ouverts: $X=\cup_{i =1}^kO_{x_i}$ .Du coup en choisissant $\phi_{ \varepsilon } =max_{i=[|1,..k|]}(\phi_{x_i, \varepsilon })$ On a bien trouvé une fonction de l' algèbre qui approche $f$ à $ \varepsilon $-près!!! Est ce que c'est juste ???

(1) C'est à dire un ev (stable par combinaison linéaire) et stable par produit.