Plan topologie (MM005)

Brouillon
Pour la notion de proximité on dit que deux points sont 'proches' d'une certaine manière lorsqu'il appartiennent à un même voisinage (ouvert). Celà ne permet pas vraiment de quantifier à ce niveaux la proximité de deux éléments. (Dans un espace métrique lorsque deux éléments appartiennet a une boule ouverte d'un certain rayon on a une bonne idée de la proximitée de deux points, qui nous est donné par le rayon de la boule elle même définie à partir de la notion de distance).

On parle de limites de suites : lorsque l'on cherche à savoir si ( pour les grandes valeurs de l'indice) les termes de la suite se rapprochent d'une valeur particulièr.

La notion de limite

On s'interesse à la topologie dans le sens ou elle fournit un cadre générale : pour les notions de limites, continuité...

La notion de limite permet d'avoir une notion de proximité. Le cadre le plus silmple pour parler de limite est celui des suites. On cherche à savoir si,, c'est-à-dire si, à partir d'un certain rang, on était aussi proche que l'on veut de cette valeur particulière ((si c'est le cas on dit alors que (x_n) converge vers x).Dans les  espaces topologiques  « être proche » signifie alors « être dans un voisinage arbitrairement choisi ».

La notion de proximité est liée à une distance qui dans R est définie par la valeur absolue d'une différence, mais cette notion peut se généraliser à tout espace métrique. Plus tard, la notion s'est étendue aux.On peut dire que x_n conerge vers x indique que quand

Résumé (Samedi 30): ex:
 * A un ensemble on peut lui adjoindre la sructure d'espace topologique s'il vérifie la stabilité ....

- Topologie grossière

- E={1,2,3} ,... Ex d'ouvert: Soit (E,d) un espace métrique, toute boule ouverte est une partie ouverte de E. On définit exhaustivement la topologie métrique car on connait tous ses ouverts: réunion (quelconque) de boules ouvertes. ex:
 * A l'aide d'un ensemble munis d'une distance (espace métrique) on peut construire une topologie (la topologie métrique). On définit les ouverts (élémnts de la topologie) comme... puis on vérifie/prouve que ces parties de (E,d) sont stables par...(axiomes d'une topologie). Donc dorénavent si on nous donne un espace métrique on peut également retrouver sa topologie métrique.

- (E,d_N):E (ensemble quelconque) munis de la distance discrète. On montre qu'il existe seulement deux types de boules ouverte (selon la valeur de r) le singleton ou l' espace tout entier. Une p.rtie qcqu de E est ouverte. Donc a topologie métrique est T=P(E) il s'agit de la topologie discrète.


 * Pour les espaces vectoriels normés

- (R,d_{|.|}: les réels munis de la distance usuelle (issue de la norme)


 * Topologie induite

- (N ou Z,d_{|.|}): Les entiers munis de la topologie usuelle. On montre également que n'importe que l partie de Z est ouverte! On a encore à faire a la topologie discrète.

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