Semi-norme

On dit qu'une fonction f converge vers l lorsque x tend vers a, signifie que lorsque x s'approche de a, f(x) s'approche de l.

Soient  $$E,F$$ deux espaces topologiques, $$f:E \mapsto F$$

1-Cas général

On dit que $$ l \in F$$ est limite de $$ f(x)$$ quand $$x$$ tend vers $$ a$$en restant dans A ssi (i) $$ \forall W \in \mathcal{V}(l), \exists V \in \mathcal{V}(a), \forall x \in V\cap A, f(x) \in W$$

(ii)$$ \forall W \in \mathcal{V}(l), \exists V \in \mathcal{V}(a), f(V \cap A) \subset W$$

(iii) $$ \forall W\in\mathcal{V}(l),\quad f^{-1}(W)\in\mathcal{V}(a)\cap A$$

(iv) $$ \forall O_F \in\mathcal{O}(F), f(a) \in O_F, f^{-1}(O_F)\in\mathcal{V}(a)\cap A$$

II- Cas métrique

Soit $$ (E,d_E), (F,d_F)$$ deux espaces métriques

(j) $$ \forall \varepsilon > 0 \quad \exists \eta > 0 \quad \forall x \in E \quad d_E(x,a)<\eta \implies d_F(l,f(a))<\varepsilon$$

(jj) $$ \forall \varepsilon >0, \exists \eta > 0,f^{-1}(B(l, \varepsilon))\subset B(a,\eta) \cap A $$