Intégration

On peut introduire l'intégrale d'une fonction(ie l' aire sous la courbe f) par les sommes de Darboux  (inférieure resp. supérieure de  $$f:[a,b]\to\R$$ ( $$\displaystyle s(f,X) := \sum_{i=1}^n h_i\, \inf f(I_i)$$resp. $$\displaystyle S(f,X) := \sum_{i=1}^n h_i\, \sup f(I_i) ~,$$). Ce qui nous permet de défiir qu'une fonction est Riemmen intégrable lorsque ses sommes de Darboux conincident. Pas très pratique de manipuler l' inf et le sup on utilisera plutot les sommes de Riemann pour le calcul effectif($$\displaystyle S(f,X,\xi)=\SUM i1n f(\xi_i)\,\Delta x_i ~,$$, ou me plus simplement $$\displaystyle s_n(f)=\SUM i1n (x_i-x_{i-1})\, f(x_{i-1}$$)). Un théorème nous dit en effet que la limite des sommes de Riemman tend vers l'intégrale 'de riemen) de la fonction. On peut donc, (via un calcul de limite, donc il faut déjà bien connaitre les limite de somme connus) retrouver l'intégrale d'une fonction. Exemple: Calculer $ J_k=\int_0^1 x^kdx$ pour $ k=1$ et $ k=2$, en utilisant des subdivisions équidistantes de $ [0,1]$**. La notion de primitive d'une fonction, permettra d'éviter ce genre de calcul (fastidieux) grâce aux théorème fondamental de l' analyse (qui permet d' établir un lien entre l'intégrale d'une fonction et sa primitive (Une fonction  F:D\to\R$ est une primitive de $ f$ dans $ D$ ssi $ F$ est dérivable sur $ D$, et $ F' = f$ dans $ D$) aux bornes de l'$$\displaystyle F(b)-F(a)=\int_a^b f(x)dx ~,$$  L'existence d'une primitive étant assurer pour les fonctions continues, on est donc en mesure d'intégrer totes les fonctions continues (par limite on verra qu'on s'interesse aussi aux intégrales 'impropres')!!!

On peut introduire l' intégraion par partie qui nous permet d' établir le developpement intégrale de Taylor: approximation polynômiale de la fonction $ f$ au voisinage d'un point $ a$

$\displaystyle s_n=\displaystyle{\sum_{i=0}^{n-1} \frac1n\lr{\frac in}^k} ~; S_n=s_n+\frac1n =\frac1{n^{k+1}} \SUM i1n i^k ~. $
 * Comme $ x^k$ est une fonction croissante sur $ \R_+$, elle est intégrable et les sommes de Darboux coïncident avec les sommes de Riemann

Pour $ k=1$, cette somme est bien connue: $ \SUM i1ni=\frac12n(n+1)$, et donc

$\displaystyle S_n=\frac12(1+\frac1n) ~, J_1=\lim_{n\to\infty}S_n = \frac12 $